Тройные Интегралы Для Чайников
На Студопедии вы можете прочитать про: Тройные интегралы.
- Терминология для тройных интегралов совпадает с соответствующей терминологией.
- ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА. Понятие тройного интеграла вводиться.
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1.1. Определение двойных интегралов Пусть функция f( x) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости xOy. Разобьем эту область произвольным образом на n частей. Площадь i-го участка обозначим символом D s i. На каждом участке произвольно выберем какую-либо точку P i, и пусть она в какой-либо фиксированной декартовой системе имеет координаты ( x i,y i).
Тройные Интегралы Для Чайников
Составим интегральную сумму для функции f( x,y) по области D, для этого найдем значения функции во всех точках P i, умножим их на площади соответствующих участков Ds i и просуммируем все полученные результаты:. (1.1) Двойным интегралом функции f( x,y) по области D называется предел, к которому стремится последовательность интегральных сумм (1.1) при неограниченном увеличении числа разбиений n ( при этом ). Это записывают следующим образом. (1.2) Заметим, что если двойной интеграл существует, то он не зависит от способа разбиения области D и от способа выбора точек ( x i,y i). Следовательно, область интегрирования можно разбивать при помощи вертикальных и горизонтальных линий. Тогда большинство участков области D будет иметь прямоугольный вид.
Поэтому дифференциал площади можно записать в виде ds=dxdy. Следовательно, в декартовой системе координат двойные интегралы можно записывать в виде. (1.3) Если подынтегральная функция f( x,y)º1, то двойной интеграл равен площади области интегрирования:.
(1.4) Свойства двойных интегралов. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:.
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:. Если область интегрирования D разбить на две части, то двойной интеграл будет равен сумме интегралов по каждой этой части:. Повторные интегралы Повторными интегралами называются интегралы вида. (1.5) В этом выражении сначала вычисляется внутренний интеграл, т.е.
Производится сначала интегрирование по переменной y (при этом переменная x считается постоянной величиной). В результате интегрирования по y получится некоторая функция по x:. Затем полученную функцию интегрируют по x:.
Вычислить интегралы: а), б). А) Произведем интегрирование по y, считая, что переменная x=const. После этого производим интегрирование по x:. Б) Так как во внутреннем интеграле интегрирование производится по переменной x, то y 3 можно вынести во внешний интеграл как постоянный множитель. Поскольку y 2 во внутреннем интеграле считается постоянной величиной, то этот будет табличным.
Вычисление Тройных Интегралов Для Чайников
В результате, получаем. Расстановка пределов интегрирования Область интегрирования называется простой в каком-либо направлении, если любая прямая, проведенная в этом направлении, пересекает границу области не более чем в двух точках. Например, Любую сложную область можно представить в виде суммы простых областей. Между двойными и повторными интегралами существует взаимосвязь. Если область интегрирования D – простая в направлении оси Oy (см.
Рис.1.1а), то двойной интеграл можно записать в виде повторного следующим образом:; (1.6) если область интегрирования D – простая в направлении оси Ox (см. Рис.1.1б), то двойной интеграл можно записать в виде повторного следующим образом:.
(1.7) Для того, чтобы перейти от двойного интеграла к повторному следует: 1) построить область интегрирования; 2) расставить пределы в интегралах, при этом следует помнить, что пределы внешнего интеграла должны быть постоянными величинами (т.е. Числами) независимо от того, по какой переменной вычисляется внешний интеграл. Расставить пределы интегрирования в соответствующих повторных интегралах для двойного интеграла, если а) б) Решение.
А) Изобразим область интегрирования D (см. Пусть интегрирование во внешнем интеграле производится по переменной x, а во внутреннем – по y. Расстановку пределов всегда нужно начинать с внешнего интеграла, в данном случае с переменной x. Из рисунка видно, что x изменяется от 0 до 1, при этом значения переменной y будут изменяться от значений на прямой y=x до значений на прямой y=2 x.
Таким образом, получаем. Пусть теперь интегрирование во внешнем интеграле производится по y, а во внутреннем – по x. В этом случае значения y будут изменяться от 0 до 2. Однако тогда верхняя граница изменений значений переменной x будет состоять из двух участков x=y/2 и x=1.
Это означает, что область интегрирования нужно разбить на две части прямой y=1. Тогда в первой области y изменяется от 0 до 1, а x от прямой x=y/2 до прямой x=y. Во второй области y изменяется от 1 до 2, а x – от прямой x=y/2 до прямой x=1. В результате получим.